Wektory i macierze - edycja świąteczna

Key points:

wektory w i
- liniowa (nie)zależność
- rozpinanie (pod)przestrzeni
proste w i
- postać kierunkowa
- postać parametryczna
- układ równań
płaszczyzny w
- układ równań
- 3 punkty (lub 1 punkt i 2 wektory)

Zadania z wektorów

Czy wektory są liniowo niezależne?

$(-1,1,0),(3,0,3),(0,1,1)$
$(1,-1,0),(1,1,-1),(0,2,-3)$

Jaka jest $lin\{(1,-1,0),(1,1,-1)\}$ ? Opisać ją równaniem $ax+bx+cx=0$
Napisać równanie kierunkowe/parametryczne prostej zadanej układem:

$\begin{cases} x-2y+z=0\\ x+y-2z=1 \end{cases}$
$\begin{cases} x+3y-2z=0\\ x-y=2 \end{cases}$

Zadania z macierzy

Wykonaj działania na macierzach: $A=\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ -1 &0 & 1 \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} -3 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\\ 1& 0 & 2 \end{bmatrix}$

$4A-2B$
$A^T+B^T$
$AB^T$
$BA^T$

Wyznacz wzór na $n-$ tą potęgę macierzy:

$A=\begin{bmatrix} \alpha & 1 \\ 0 &\alpha \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1& 0 & 0\\ -1 & 2 &0 \end{bmatrix}$

Wyznacz $X$ z równania: $(X+A^T B)B^{-1}=I+A^T$
Jaki jest rząd macierzy $A=\begin{bmatrix} 0 & 2 &-1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 &2 \\1 & 2 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ oraz $B=\begin{bmatrix} k & 0 &1 \\ k & 1 & 1 \\1 & -1 & k \end{bmatrix} \text{ w zależności od } k?$
Wyznacz $X$ jeśli: $X^{-1}B=(B^{-1}A-A^T)^{-1}$ oraz
$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix},$
Wyznacz $X$ jeśli $C^TCX=C^TD$ jeśli

$C=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3\end{bmatrix},\ D=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\end{bmatrix},$

Hint: macierz $C$ oczywiście nie jest odwracalna (jest prostokątna!). Ale po lewej stronie znajdzie się jakaś macierz kwadratowa i odwracalna, jeśli się jej dobrze poszuka :)
Btw: to wyprowadzenie Państwo zobaczą wielokrotnie (!) na ekonometrii