Wektory i macierze - edycja świąteczna

Key points:

Zadania z wektorów

  1. Czy wektory są liniowo niezależne?
  1. Jaka jest lin\{(1,-1,0),(1,1,-1)\}? Opisać ją równaniem ax+bx+cx=0

  2. Napisać równanie kierunkowe/parametryczne prostej zadanej układem:

Zadania z macierzy

  1. Wykonaj działania na macierzach: 
A=\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -1  \\ -1 &0 & 1 \end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} -3 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\\ 1& 0  & 2 \end{bmatrix}
  1. Wyznacz wzór na $n-$ tą potęgę macierzy:


A=\begin{bmatrix} \alpha & 1  \\ 0 &\alpha \end{bmatrix}


B=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1& 0 & 0\\ -1 & 2 &0 \end{bmatrix}

  1. Wyznacz X z równania: 
(X+A^T B)B^{-1}=I+A^T

  2. Jaki jest rząd macierzy 
A=\begin{bmatrix}  0 & 2 &-1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 &2 \\1 & 2 & -2 & 3 \end{bmatrix}
oraz 
B=\begin{bmatrix}  k & 0 &1 \\ k & 1 & 1 \\1 & -1 & k \end{bmatrix} \text{ w zależności od } k?

  3. Wyznacz X jeśli: X^{-1}B=(B^{-1}A-A^T)^{-1} oraz
    
A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix},

  4. Wyznacz X jeśli C^TCX=C^TD jeśli


C=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2  \\ 1 & 3\end{bmatrix},\ D=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\end{bmatrix},

Hint: macierz C oczywiście nie jest odwracalna (jest prostokątna!). Ale po lewej stronie znajdzie się jakaś macierz kwadratowa i odwracalna, jeśli się jej dobrze poszuka :)
Btw: to wyprowadzenie Państwo zobaczą wielokrotnie (!) na ekonometrii