Ćw.1 Matematyka (dzienne)

Zasady zaliczenia

średnia z dwóch kolokwiów: do 30 pktów
egzamin: do 30 pktów
aktywność: do 5 pktów

pkty	ocena
0-30	2
31-36	3
37-42	3.5
43-48	4
49-54	4.5
55+	5

Pomocne:

WolframAlpha
- program z krokami pośrednimi (13.99zł) do kupienia tu (nie, to nie jest link afiliacyjny)
- printscreen pokazujący przykładową składnię i rozwiązanie krok-po-kroku
- wersja on-line (do sprawdzenia wyniku, ale bez kroków pośrednich) jest tu
- printscreen użycia wersji webowej
- uwagi:
  - program jest dość tolerancyjny: można wpisać polecenie po angielsku, pseudo-LaTexem albo sposobem mieszanym.
  - dostępne są tutoriale
  - Proszę zwracać uwagę na nawiasy!!!
zadania: wazniak.mimuw.edu.pl
podręcznik/skrypt dra Michała Krycha z MIMUW

Ciągi

Key points:

ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny
ciągi bywają zbieżne (do granicy), rozbieżne do $+\infty,-\infty$ (do granicy niewłaściwej), albo rozbieżne (tymi się mało będziemy zajmować)
granica sumy/różnicy/iloczynu/ilorazu ciągów to suma/różnica/iloczyn/iloraz granic...
...chyba, że trafimy na wyrażenia nieoznaczone:

\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},+\infty-\infty,0\cdot\infty,1^{\infty},0^0,\infty^0

twierdzenie o 3 ciągach
twierdzenie o 2 ciągach
ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny

Dodatkowe uwagi:

dwumian Newtona warto znać! Choć nie ma tego w programie...
był: dowód, że $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2^n}=0$
nie pojawiło się, a obiecałam: dowód, że $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1$
pojawiły się wątpliwości (dziękuję za uwagę) nt. granic typu

(\text{coś zbieżne do }e)^{\text{coś zbieżne do stałej}}

Rzeczywiście, korzystamy tu z czegoś więcej niż mnożenie, dzielenie, dodawanie i odejmowanie. Na wszelki wypadek podaję zatem następujące twierdzenia:
Jeśli $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in\mathbb{R}$ oraz $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=b\in\mathbb{R}$ to $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n^{b_n}=a^b$ , o ile działania po obu stronach są wykonalne.

Jeśli $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in(1,+\infty)$ oraz $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=-\infty$ to $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n^{b_n}=0$ .

Jeśli $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in(1,+\infty)$ oraz $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=+\infty$ to $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n^{b_n}=+\infty$ .

Jeśli $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in[0^{+},1)$ oraz $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=-\infty$ to $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n^{b_n}=+\infty$ .

Jeśli $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in[0^{+},1)$ oraz $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=+\infty$ to $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n^{b_n}=0$ .

Dla przypomnienia: działanie $0^0$ nie jest wykonalne ;-)

dodatkowo, prezentuję "wzorowe" (na dodatek sprytne!) rozwiązanie zadania z ćwiczeń (brawo dla Autorki!)
$ą$

Przykładowe zadania

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(3n+1)(n+2n^2)\sqrt{n+1}}{\sqrt{n^2+8}\sqrt{n-7}(n+3)}

\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-{2}{n}\right)^{3n+1}

\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{2^n+3\cdot 5^n+(-1)^n}

Uwaga! Ostatni ciąg można policzyć zarówno za pomocą twierdzenia o trzech ciągach, jak i wyłączając przed znak pierwiastka element o najszybszej zbieżności i wykorzystując powyższe twierdzenia potęgowe (dla potęgi $\frac{1}{n}$ , czyli pierwiastka). Ten drugi sposób jest prawdopodobnie bardziej intuicyjny :)