Ćw.2 Matematyka (dzienne)

Funkcje

Key points:

dziedzina, zbiór wartości, obraz, przeciwobraz;
funkcje różnowartościowe, "na", bijekcje $\Leftrightarrow$ odwracalne
granice w punkcie, granice w nieskończoności; granice prawo- i lewostronne;
asymptoty: pionowe, poziome i ukośne jako odpowiednie granice

Dodatkowe uwagi:

Warto pamiętać:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1

dowód (druga grupa miała, pierwszej tylko zasygnalizowałam)

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln x}{x}=1

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1

dowód Tej ostatniej granicy użyliśmy w ostatnim (trudnym) zadaniu - pełne rozwiązanie poniżej

Przykładowe zadania

Znaleźć dziedzinę i zbiór wartości funkcji

f(x)=e^{-|2-x|}

f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}

Znając sposoby obliczania asymptot, są już Państwo w stanie w pełni policzyć drugi przykład, łącznie z wyznaczeniem zbioru wartości!

Policzyć granice obustronne:

\lim_{x\rightarrow 1}2^{\frac{3}{1-x}}

Wyznaczyć asumptoty

f(x)=\frac{x}{x+2}

Trudne zadanie finałowe: wyznaczyć asymptoty:

f(x)=(x+1)e^{\frac{x+1}{x}}

Policzę tylko asymptotę ukośną, bo z pionową i brakiem poziomych Państwo sobie świetnie poradzili. Najpierw współczynnik kierunkowy prostej:

\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)e^{1+\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{1+\frac{1}{x}}=e

Następnie wyraz wolny:

\lim_{x\rightarrow+\infty}[f(x)-e\cdot x]=(x+1)e\cdot e^{\frac{1}{x}}-e\cdot x=e\cdot \left[x(e^{\frac{1}{x}}-1)\right]+e\cdot e^{{\frac{1}{x}}}

Element w nawiasie kwadratowym zbiega do 1 na podstawie twierdzenia powyżej (podstawmy $y=1/x$ i zobaczmy, że jeśli $x\rightarrow+\infty$ , to $y\rightarrow 0^{+}$ ) drugi element zbiega do $e$ . Zatem:

\lim_{x\rightarrow\infty}[f(x)-e\cdot x]=e\cdot 1+e\cdot 1=2e

Ostatecznie asymptotą ukośną funkcji jest prosta postaci $ex+2e$ .

A tu zobaczmy jak z zadaniem poradził sobie WolframAlpha.