Ćw. 5 Matematyka (dzienne)

Kolokwium 30.11.2018. Zapraszam wszystkich na właściwą grupę.

Badanie funkcji wielki finał

Key points:

druga pochodna
- interpretacja - tempo zmian funkcji ("funkcja rośnie coraz szybciej" itp.)
- znak drugiej pochodnej - wklęsłość/wypukłość
- znak drugiej pochodnej w miejscu zerowym pierwszej pochodnej - ekstremum
szukanie maksimum/minimum funkcji na przedziale:
1. Sprawdzamy dziedzinę i ciągłość
2. Liczymy pierwszą pochodną i szukamy, gdzie jest zerem (tam są potencjalne ekstrema)
3. Liczymy drugą pochodną i sprawdzamy wartość w punktach z 2. Stąd mamy maksima/minima lokalne.
4. Sprawdzamy wartości na końcach przedziału!
pełne badanie przebiegu zmienności (nie będzie na kolokwium, bo nie zdążymy)
1. Sprawdzamy dziedzinę i ciągłość
2. Liczymy pierwszą pochodną i szukamy, gdzie jest zerem, gdzie dodatnia, a gdzie ujemna.
3. Liczymy drugą pochodną i sprawdzamy, gdzie jest dodatnia/ujemna.
4. Robimy tabelę z podprzedziałami dziedziny i określamy na każdym z podprzedziałów znaki obu pochodnych i z nich kształt funkcji (np. funkcja rośnie coraz wolniej). W tabeli określamy również maksima i minima.
5. Aby zrobić wykres, dobrze by było znać jeszcze punkty przecięcia z osią x i y.

Przykładowe zadania

Wyznaczyć ekstrema w przedziale:

f(x)=5\sqrt[3]{x^2}e^{-x}\text{ dla }x\in[0,8]

g(t)=t^{-2}\ln t

Gdzie funkcja wypukła/wklęsła?

f(x)=-\frac{x^2}{2}+x\ln x

Przeprowadzić pełne badanie funkcji (granice, asymptoty, ekstrema)

f(x)=(x+1)e^{-x}

Uwaga: grupie z 14:20 obiecałam rozwiązanie ostatniego zadania, które było już rzeczywiście nagięciem Państwa cierpliwości ;-) Kajam się! Wyznaczyć dla jakiego $\alpha$ funkcja jest wypukła/wklęsła:

f(x)=\frac{1}{1+e^{\alpha x}}

Skrócone rozwiązanie:

f''(x)=\frac{2 \alpha^2 e^{2\alpha x}}{(1+e^{\alpha x})^3} - \frac{\alpha^2 e^{\alpha x}}{(1+e^{\alpha x})^2}=\frac{\alpha^2 e^{\alpha x} (e^{\alpha x} - 1)}{(1+e^{\alpha x})^3}

f''(x)> 0\Leftrightarrow \alpha x > 0 \Leftrightarrow (\alpha>0\wedge x>0) \vee (\alpha<0 \wedge x<0)

Funkcja jest ściśle wypukła dla $x>0$ , jeśli $\alpha>0$ . Jest ściśle wypukła dla $x<0$ jeśli $\alpha<0$ . Funkcja jest ściśle wklęsłą dla $x>0$ , jeśli $\alpha<0$ . Jest ściśle wklęsła dla $x<0$ jeśli $\alpha>0$ . Funkcja jest słabo wypukła i wklęsła (a konkretniej stała) dla $\alpha=0$ .
A tu można sobie poprzesuwać $\alpha$ i zobaczyć, jak zmienia się wykres. Jest to jedna z funkcji sigmoidalnych, czyli takich o kształcie litery S.