Ćw. 7 Matematyka (dzienne)

Organizacyjnie:

• przypominam: Kolokwium 30.11.2018. Zapraszam wszystkich na właściwą grupę.

• wnioski i zmiany po ankiecie:

  • szybciej nie będzie ;-)
  • ograniczać materiału "do niezbędnego minimum" nie będę, z powodów wyjaśnionych na zajęciach
  • postaram się zamieszczać więcej zadań na stronie
  • na zajęciach do tablicy chodzą Państwo w z góry zadanej kolejności (z prawem odmowy), nie na ochotnika

Key points:

• Algorytm postępowania z problemem szukania minimum/maksimum z zadanym ograniczeniem liniowym:

  • przekształcamy ograniczenie do postaci $g(x,y)=0$
  • konstruujemy funkcję Lagrange'a $L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$
  • liczymy gradient $L$ i wyznaczamy punkt(y) $(x,y,\lambda)$, gdzie $\nabla L(x,y,\lambda)=0$. Mamy kandydata na punkt maksimum/minimum!
  • liczymy hesjan obrzeżony, czyli macierz drugich pochodnych $L(x,y,\lambda)$
  • liczymy wyznacznik hesjana. Jeśli $\det HL(x,y,\lambda)>0$ w punkcie, gdzie $\nabla L(x,y,\lambda)=0$, to jest tam maksimum (proszę zwrócić uwagę na znak!). Jeśli $\det HL(x,y,\lambda)<0$ w punkcie, gdzie $\nabla L(x,y,\lambda)=0$, to jest tam minimum.

Pojawiło się przy okazji:

• gadka motywacyjna: cała ekonomia to nauka o gospodarowaniu ograniczonymi zasobami

  • ...więc: optymalizacja z ograniczeniami jest kluczowym narzędziem!

• interpretacja ekonomiczna $\lambda$ (jak bardzo "bolesne" jest ograniczenie budżetowe)

• elastyczności cząstkowe dla funkcji dwóch zmiennych

• krańcowa stopa substytucji (po jakiej stopie wymieniać jedno dobro na drugie, żeby nie stracić na użyteczności)

Przykładowe zadania

Wyznaczyć - tym razem analitycznie - ekstrema funkcji na zbiorze:

Produkcja wyrobów stalowych zależy od godzin pracy $h$ i ilości surowca $s$

Godzina pracy kosztuje 30 zł, tona stali kosztuje 1500 zł. Budżet firmy to 300.000 zł. Jakie są optymalne nakłady środków produkcyjnych?