Ćw.1 Matematyka (dzienne)

Zasady zaliczenia

• średnia z dwóch kolokwiów: do 30 pktów
• egzamin: do 30 pktów
• aktywność: do 5 pktów

Pomocne:

• Pana kolega polecił mi apkę PhotoMath -- jest ekstra!

• WolframAlpha

  • program z krokami pośrednimi (13.99zł) do kupienia tu (nie, to nie jest link afiliacyjny)

  • printscreen pokazujący przykładową składnię i rozwiązanie krok-po-kroku

  • wersja on-line (do sprawdzenia wyniku, ale bez kroków pośrednich) jest tu

  • printscreen użycia wersji webowej

  • uwagi:

    • program jest dość tolerancyjny: można wpisać polecenie po angielsku, pseudo-LaTexem albo sposobem mieszanym.
    • dostępne są tutoriale
    • Proszę zwracać uwagę na nawiasy!!!

• zadania: wazniak.mimuw.edu.pl

• podręcznik/skrypt dra Michała Krycha z MIMUW

• inne:

  • e-trapez: na własną odpowiedzialność ;-)
  • wykłady Eddiego Woo na Youtube

Ciągi

Key points:

• ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny
• ciągi bywają zbieżne (do granicy), rozbieżne do $+\infty,-\infty$ (do granicy niewłaściwej), albo rozbieżne (tymi się mało będziemy zajmować)
• granica sumy/różnicy/iloczynu/ilorazu ciągów to suma/różnica/iloczyn/iloraz granic...
• ...chyba, że trafimy na wyrażenia nieoznaczone:

• twierdzenie o 3 ciągach (ang. squeeze theorem)
• twierdzenie o 2 ciągach (dla ciągów rozbieżnych do $+\infty$)
• granice ciągów można dodoawać, odejmować, mnożyć, dzielić
• można też potęgować, jeśli to legalne (uwaga: $0^0$ nie jest) :
• Jeśli $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in\mathbb{R}$ oraz $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=b\in\mathbb{R}$ to $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n^{b_n}=a^b$, o ile działania po obu stronach są wykonalne.

Jeśli $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in(1,+\infty)$ oraz $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=-\infty$ to $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n^{b_n}=0$.

Jeśli $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in(1,+\infty)$ oraz $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=+\infty$ to $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n^{b_n}=+\infty$.

Jeśli $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in[0^{+},1)$ oraz $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=-\infty$ to $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n^{b_n}=+\infty$.

Jeśli $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in[0^{+},1)$ oraz $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=+\infty$ to $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n^{b_n}=0$.

Przy okazji pojawiło się:

• dwumian Newtona warto znać!
• dowód, że $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2^n}=0$
• dowód, że $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1$

Przykładowe zadania

Uwaga! Ostatni ciąg można policzyć zarówno za pomocą twierdzenia o trzech ciągach, jak i wyłączając przed znak pierwiastka element o najszybszej zbieżności i wykorzystując powyższe twierdzenia potęgowe (dla potęgi $\frac{1}{n}$, czyli pierwiastka). Ten drugi sposób jest prawdopodobnie bardziej intuicyjny :)