Zadania przygotowawcze do kolokwium

Zadania typowe

Poniższe zadania korzystają bezpośrednio z metod zaprezentowanych na ćwiczeniach i, choć są wśród nich stosunkowo prostsze i trudniejsze, wszystkie powinny być w zasięgu każdego z Państwa.
Aktualizacja 24.11.2018

Oblicz granicę ciągów:

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1-n^2}{\sqrt{2n^3+3n^2-1}}$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{2n+2}$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\frac{n^2+1}{n^2+2}\right)^{n^2+3}$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{e^n+2^n+\sin(n^3)}$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2^{2n}+\pi^n+(-1)^n}{4^{n+1}-3^n+25}$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{1000}\right)^{n}$

Wyznacz granicę funkcji:

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^2-x}{x-1}$
$\lim_{x\rightarrow e} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{e}}{e-x}$
$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{\sin x}$
$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin\sqrt{x}}{x}$
$\lim_{x\rightarrow \infty} x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$
$\lim_{x\rightarrow \infty} x^{\frac{3}{x+1}}$
$\lim_{x\rightarrow 0+} {\frac{1-\cos x}{\sin x e^x}}$

Wyznacz asymptoty:

$f(x)=-x^2/(2x-4)$
$f(x)=x^4/(1+x)^3$
$f(x)=e^{-\frac{1}{x}}$

Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności:

$f(x)=(2-x)e^{-x}$
$f(x)=\frac{x^2+3x+3}{x+1}$

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji:

$f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3} -\frac{3x^2}{2} + \frac{7}{12}\text{ w przedziale }x\in[-2,2]$
$f(x)=\frac{x}{x^2+1}\text{ w przedziale }x\in[0,5]$
$f(x)=e^{-x}+ex \text{ w przedziale }x\in[-3,0]$

Gdzie dana funkcja jest rosnąca/malejąca? Gdzie jest wypukła/wklęsła?

$f(x)=2\ln x -2x+3e$
$f(x)=\frac{(x-2)^3}{(x+1)^2}$
$f(x)=\frac{x^2}{2}- e^x$ uwaga: tu pytanie o monotoniczność jest trudniejsze
$e^{-x^2+2x-1}$ a tu będą pierwiastki - proszę nie wpadać w panikę

Wyznacz maksima i minima (nieograniczone) funkcji dwóch zmiennych:

$f(x,y)=-2x+x^2-16y+4y^2+xy$
$f(x,y)=xy+\frac{1}{x}+\frac{8}{y}$ tu maksimum nie istnieje

Policz elastyczności.

$f(x)=\sqrt{1+x^2}$ dla $x=3$
$q(p)=20p^{-0.1}$ dla dowolnej ceny $p$
Popyt wyraża się funkcją $q(p)=100-0.2p-\sqrt{p}$ . Jak zmieni się popyt, jeśli cena spadnie o 2%?

Optymalizacja z ograniczeniami:

Znajdź $\max_{x,y} x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}}$ dla $x+y=4000$
Rozważmy funkcję zysku ze sprzedaży krzeseł (x) i foteli (y): $\max_{x,y} -2x^2+60x-3y^2+72y+100$ . Załóżmy, że z powodu braków kadrowych firma może wyprodukować tygodniowo tylko 20 mebli. Jakie jest optymalne $(x,y)$ dla zadanego problemu? Jakie byłoby optimum, gdyby zlikwidować ograniczenie kadrowe? Jaki byłby wzrost zysku, gdyby zwiększyć możliwości produkcyjne z 20 mebli do 21? Ostatnie pytanie jest z mikro, ale można odpowiedzieć :)

Zadania mniej typowe

Poniższe zadania nie są trudne, są tylko mniej przećwiczone.

Znajdź kąt pomiędzy krzywymi $y=x^2$ i $y=2x$ (hint: $\tan a=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$ )
Zróżniczkuj: $x^{x^x}$
Policz granice $\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{n+5}-\sqrt{n}$ i $\lim_{n\rightarrow+\infty}n\left(\sqrt{n+5}-\sqrt{n}\right)$
Korzystając z przybliżenia pochodną, policz przybliżoną wartość $\sqrt[3]{7.98}$
Produkcja firmy wyraża się wzorem $Y=K^{3/2}L^{1/2}$ , gdzie $K$ to majątek (w mln zł) a $L$ to zatrudnienie. W pewnym okresie zatrudnienie wyniosło 100 osób, zaś majątek $25$ . W związku z planowaną restrukturyzacją planowane jest zwolnienie 5 osób. Jakie (w mln zł) zwiększenie kapitału pozwoli na utrzymanie bieżącej produkcji? Po ostatnich zajęciach potrafią już to Państwo zrobić :)