Ćw.1 Matematyka (niestacjonarne)

podręcznik: Kłopotowski i inni, Matematyka, Szkoła Główna Handlowa tu zdjęcie okładki
WolframAlpha
- program z krokami pośrednimi (13.99zł) do kupienia tu (nie, to nie jest link afiliacyjny)
- printscreen pokazujący przykładową składnię i rozwiązanie krok-po-kroku
- wersja on-line (do sprawdzenia wyniku, ale bez kroków pośrednich) jest tu
- printscreen użycia wersji webowej
- uwagi:
  - program jest dość tolerancyjny: można wpisać polecenie po angielsku, pseudo-LaTexem albo sposobem mieszanym.
  - dostępne są tutoriale
  - Proszę zwracać uwagę na nawiasy!!!
poza tym: KhanAcademy (łatwe), wazniak.mimuw.edu.pl (trudne)

Ciągi

ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny
ciągi bywają zbieżne (do granicy), rozbieżne do $+\infty,-\infty$ (do granicy niewłaściwej), albo rozbieżne (tymi się mało będziemy zajmować)
granica sumy/różnicy/iloczynu/ilorazu ciągów to suma/różnica/iloczyn/iloraz granic...
...chyba, że trafimy na wyrażenia nieoznaczone:

\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},+\infty-\infty,0\cdot\infty,1^{\infty},0^0,\infty^0

lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e

Jeśli $a_n\rightarrow\pm \infty\$ to $\ lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e$

Wszystkie poniższe przykłady są prawie identyczne jak te, które robiliśmy na ćwiczeniach. Można przećwiczyć w domu.

lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(4n+3)(n-1)}{(4n-3)(n^2+5)}

lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n+1}{2n+3}\right)^{\frac{1}{2}}

lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{n+1}

lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+1)^2-4n^2}{(2n+1)^2+4n^2}

\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{1}{1-x}=-\infty

Wszystkie poniższe przykłady są prawie identyczne jak te, które robiliśmy na ćwiczeniach. Można przećwiczyć w domu.

lim_{x\rightarrow\infty}\frac{-4x^4+2x^2+5}{x^4-8x^2}

lim_{x\rightarrow \sqrt{2}}\frac{x-4\sqrt{x}+4}{(\sqrt{x}-2)}

lim_{x\rightarrow 1}\frac{3}{(1-x)^3}