Ćw. 4 Matematyka (niestacjonarne)

Funkcje dwóch zmiennych

Key points:

• poziomice/warstwice

  • rysowanie funkcji w dwóch wymiarach
  • szerokie zastosowanie w mikroekonomii (krzywe użyteczności)

• ekstrema funkcji dwóch zmiennych bez ograniczeń

  • gradient
  • macierz drugich pochodnych i jej wyznacznik
  • $f^{''}_{xy}=f^{''}_{xy}$ (pod pewnymi założeniami!)

• Algorytm postępowania z problemem optymalizacji bez ograniczeń

  • liczymy pochodne cząstkowe i przyrównujemy do zera
  • $\rightarrow$ mamy 'kandydatów na punkty max/min
  • liczymy macierz drugich pochodnych (2x2) i podstawiamy punkty wyznaczone krok wcześniej
  • jeśli $f''_{xx}<0$ i $detD^2f > 0$ to max; jeśli $f''_{xx}>0$ i $detD^2f>0$ to min.
  • obliczamy wartość funkcji w punkcie max/min

• Algorytm postępowania z problemem szukania minimum/maksimum z zadanym ograniczeniem liniowym:

  • przekształcamy ograniczenie do postaci $g(x,y)=0$
  • konstruujemy funkcję Lagrange'a $L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$
  • liczymy pochodne cząstkowe $L$ i wyznaczamy punkt(y) $(x,y,\lambda)$, gdzie $\nabla L(x,y,\lambda)=0$.
  • $\rightarrow$ mamy kandydata na punkt maksimum/minimum!
  • liczymy czyli macierz drugich pochodnych $L(x,y,\lambda)$ (teraz 3x3!)
  • liczymy wyznacznik powyższej macierzy; jeśli $\det HL(x,y,\lambda)>0$ w punkcie, gdzie $\nabla L(x,y,\lambda)=0$, to jest tam max (proszę zwrócić uwagę na znak!). Jeśli $\det HL(x,y,\lambda)<0$ w punkcie, gdzie $\nabla L(x,y,\lambda)=0$, to jest tam min.
  • liczymy wartość funkcji w max/min

Przykładowe zadania

1. Narysować na płaszczyźnie warstwice funkcji $f(x,y)=xy$. W którą stronę wartości funkcji rosną?
2. Wyznaczyć ekstrema (bezwarunkowe) funkcji

3. Użyteczność gości na imprezie z wina i chipsów wynosi $u(w,c)=c\cdot w$. Butelka wina kosztuje 15 zł, paczka chipsów kosztuje 6 zł. Jakie są optymalne zakupy przy budżecie 240 zł?