Zadania przygotowawcze do II kolokwium

Zadania z optymalizacji (2 zmiennych)

Policz ekstrema (bez ograniczeń):

1. $f(x,y)=-x^2+2xy-2y^2+2y-1$
2. $f(x,y)=-2x+x^2-16y+4y^2+xy$

Ekstrema z ograniczeniami:

3. Znajdź $\max_{x,y} x^{2}y$ dla $x+y=2000$
4. Użyteczność widzów kina z popcornu i coli wynosi $u(p,c)=2p\cdot c^2$. Popcorn kosztuje 15 zł, cola kosztuje 10 zł. Jakie są optymalne zakupy przy budżecie 180 zł?

Ekstrema łącznie:

5. Rozważmy funkcję zysku ze sprzedaży krzeseł (x) i foteli (y): $\max_{x,y} -2x^2+60x-3y^2+72y+100$. Załóżmy, że z powodu braków kadrowych firma może wyprodukować tygodniowo tylko 20 mebli. Jakie jest optymalne $(x,y)$ dla zadanego problemu? Jakie byłoby optimum, gdyby zlikwidować ograniczenie kadrowe?

Zadania z całek

Policz całki nieoznaczone

6. $\int x^2+\frac{1}{5}x+e^x-\sin(x) dx$
7. $\int \frac{1}{x}+\frac{\pi}{x^2}+\cos(x)dx$
8. $\int\frac{2x}{x^2+4} dx$
9. $\int \frac{1}{x\ln(x)}dx$ (odrobinę trudniejsze, ale wykonalne ze wzorów, które Państwo znają)

Policz całki oznaczone

10. $\int_1^2 -x^2+3x-2$
11. $\int_{\pi/2}^{\pi/2} \sin(x) dx$
12. $\int_1^e \frac{3}{x}dx$
13. $\int_1^8 {\sqrt[3]{x}}$
14. $\int_0^1 e^x dx$

Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:

15. $y=\sqrt{x}$ i $x=1$ i $y=0$
16. $y=-x^2+4x-3$ i $y=0$

Oblicz całki niewłaściwe:

17. $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}$
18. $\int_0^e \frac{1}{1+x}$

Algebra

Wykonaj działania na macierzach:

1. $A-B^T$
2. $2A^T+B$
3. $AB$
4. $BA$
5. $AA^T$
6. $AA^T$

7-8. Policz wyznaczniki (polecam w ramach ćwiczeń na kilka sposobów)

9-12. Odwróć macierze

Odpowiedzi:

Analiza:

1. $\max=0$ w $(x,y)=(1,1)$
2. $\min=-16$ w $(x,y)=(0,2)$
3. $(x,y)=(1333\frac{1}{3},666\frac{1}{3})$
4. 4 popcorny, 12 coli
5. Optimum z ograniczeniami to (10.8,9.2), a więc (ponieważ mówimy o meblach), 11 krzeseł i 9 foteli (swoją drogą przepraszam za "nieokrągłe" liczby). Bez ograniczeń to (15,12).
6. $\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{10} x^2 + e^x + cos(x)+c$
7. $\log(x)-\pi/x + sin(x) + c$
8. $\log(x^2+4)+c$
9. $\log\log(x)+c$
10. 1/6
11. 0
12. 3
13. 45/4
14. $e-1$
15. teraz zadanie poprawione 2/3
16. 4/3
17. 1
18. $log(1+e)$

Algebra

1-6. Pomijam: więcej pisania, niż liczenia.

7. 4
8. 0
9. $\begin{bmatrix} -1 & -2\\1 & 1\end{bmatrix}$
10. $1/3\begin{bmatrix} -1 & 2\\0 & 3\end{bmatrix}$
11. $\begin{bmatrix} -1 & 2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 1/2 \\ 0 & 0 & -1/2 \end{bmatrix}$
12. $\begin{bmatrix}2 & -8 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & -4 & 1\end{bmatrix}$