Ćw.2 Matematyka (dzienne)

Badanie przebiegu funkcji

pochodne:
- interpretacja geometryczna - nachylenie stycznej
- pochodna jako najlepsze przybliżenie wielomianem 1 stopnia
- własności arytmetyczne + pochodna funkcji złożonej
- algorytmy liczenia pochodnych
twierdzenie Darboux
lokalne ekstrema i warunki 1. pochodnej na ich istnienie
elastyczność i jej interpretacja

a^b=e^{b\ln a}

Byli Państwo sceptyczni, ale nawet Wikipedia się zgadza, że to definicja (jedna z możliwych) potęgi.

punkty stacjonarne i własności pochodnej w tych punktach
małe wspomnienie o szeregu Taylora
dodatkowe materiały do nauki (zob. też notatki z pierwszych ćwiczeń:
- Eddie Woo, czyli matma na jutubie
- strona wykładowcy (wypada znać...)

Czy nastąpująca funkcja jest ciągła?

f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} \text{ dla }x>0 \\ 0\text{ dla }x\leq 0 \end{cases}

Wyznaczyć równanie stycznej do funkcji $f(x)=(x^2+x)e^{x+1}$ w punkcie $(0,0)$ .

Ile w przybliżeniu [funkcją liniową ;-)] wynosi $\cos(1)$ ?

Wyznaczyć pochodną/zbadać przebieg funkcji (również: jaki jest zbiór wartości?):

f(x)=\sqrt[x]{x}

f(w)=e^w\ln(1-w^2)

f(x)=\frac{\sin x+\cos x}{e^x}

f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}

Wykazać z twierdzenia Darboux, że równanie $x^5+2x+1+\sin x =0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Funkcja popytu na dobro wynosi:

q(p)=-\frac{2}{81}p^3+2p^2+10p+2

Ile (w przybliżeniu) procentowo zwiększy się popyt, jeśli cenę zwiększymy o $2\%$ ?