Zadania przygotowawcze, mat. st.

Zadania przygotowawcze do II kolokwium

Update 16.01: w poprzedniej wersji zad. 5 miało być w 4, a początkowy pomysł na 5 zaginął. Wklepałam nowe, przepraszam za konfuzję.

Z całek zadań było sporo, także pomijam. Oczywiście na kolokwium można się spodziewać raczej zadań typu 7 niż typu 1, jeśli to nie jest dla Państwa jasne.

Koniecznie proszę zrobić kolokwium z 2015 roku ze strony dra Pawelca. Wszystkie zadania powinny być w Państwa zasięgu. Obowiązują Państwa również zadania z SGH-owego zbioru zadań, w szczególności wszystkie te. Również wszystkie zadania z moich notatek z ćw. 10, ćw. 11, ćw. 12 i ćw. 13 Poniżej również kilka innych zadań.

Wyznacz $X$ jeśli: $X^{-1}B=(B^{-1}A-A^T)^{-1}$ oraz

A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix},

Wyznacz $X$ jeśli $C^TCX=C^TD$ jeśli

C=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3\end{bmatrix},\ D=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\end{bmatrix},

Hint: macierz $C$ oczywiście nie jest odwracalna (jest prostokątna!). Ale po lewej stronie znajdzie się jakaś macierz kwadratowa i odwracalna, jeśli się jej dobrze poszuka :)
Btw: to wyprowadzenie Państwo zobaczą wielokrotnie (!) na ekonometrii

Policz wyznaczniki

A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 &1 \\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & -1 & -3 & 0\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2\end{bmatrix}

Dodatkowo policz (inteligentnie) wyznaczniki macierzy $A^{-1}(A+A)$ oraz $B^TB$

Wyznacz rząd macierzy w zależności od $a\in R$ :

A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ a & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 3\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ a & 1 & 2 \\ 1 & 2a & 1\end{bmatrix}

Znajdź rozwiązania układu w zależności od parametru p

\begin{cases} px + y - 2z & = -7\\ 2x - y& = p\\-2x + y + z &=p \end{cases}

Jeśli dla jakiegoś $p$ układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, wyznacz rozwiązania bazowe (w ramach ćwiczeń mogą być wszystkie :-)) i rozwiązanie ogólne.

I jeszcze jeden układ (polecenie j.w.)

\begin{cases} x+5y-6z & = 2\\ px + y-z &=3\\ 5x- py+ 3z& = 7 \end{cases}

Dany jest układ:

\begin{cases} x-2y+z & = 1\\ x+y-z &=1\\3x-z& = 3 \end{cases}

Z weryfikować, że jego rozwiązaniem jest prosta w $R^3$ . Zapisać prostą w postaci parametrycznej i kierunkowej. Podać punkt przecięcia prostej z płaszczyzną $x=0$ .